Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，Sn=

1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入已知Sn=

1

2

an+1中，由a₁的值即可求出a₂的值，然后由a₁和a₂的值，把n=2代入Sn=

1

2

an+1中即可求出a₃的值；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推式把a(bǔ)_n+1=S_n+1-S_n代入Sn=

1

2

an+1中，確定出數(shù)列S_n是等比數(shù)列，由首項(xiàng)和公比寫(xiě)出數(shù)列S_n的通項(xiàng)公式，當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)S₁=a₁得到a₁的值，當(dāng)n≥2時(shí)，再根據(jù)Sn-1=

1

2

an即可得到a_n的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)的分段函數(shù)即可；
（3）根據(jù)（1）中求出的a_n的通項(xiàng)公式列舉出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n的各項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)求出T₁的值，當(dāng)n≥2時(shí)，求出Tn，記作①，兩邊乘以3得到一個(gè)等式，記作②，①-②，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)即可求出T_n的通項(xiàng)公式，把求出的T₁代入也滿足，進(jìn)而求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）令n=1，得到S₁=a₁=

1

2

a₂，由a₁=1，得到a₂=2，
令n=2，得到S₂=a₁+a₂=

1

2

a₃，
則a₃=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列S_n是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

；（8分）
（3）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2①，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1②，
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1
=-1+（1-2n）•3^n-1．
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及確定等比數(shù)列的方法．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．學(xué)生做此類題時(shí)注意靈活利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2且n為正整數(shù)）．