Question

13．已知函數f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）求函數h（x）=f（x）-3x的極值；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-ax在定義域內為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到h（x），求其導函數，解得導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，求得函數的單調區(qū)間，進一步求得極值；
（Ⅱ）由函數g（x）=f（x）-ax在定義域內為增函數，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分離參數a，利用基本不等式求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ） 由已知，得h（x）=f（x）-3x=lnx+x²-3x，$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$（x＞0），
令$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
∴當x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）時，h′（x）＞0，當x∈（$\frac{1}{2}，1$）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）上為增函數，在（$\frac{1}{2}，1$）上為減函數．
∴h（x）_極小值=h（1）=-2，$h{（x）_{極大值}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，g′（x）=$\frac{1}{x}+2x-a$，
由題意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，
即a≤$（2x+\frac{1}{x}）_{min}$．
∵x＞0時，2x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時等號成立．
故$（2x+\frac{1}{x}）_{min}=2\sqrt{2}$，
∴a$≤2\sqrt{2}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，訓練了分離參數法及構造函數求最值，是中檔題．