Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，DD₁的中點．
（1）證明：A，E，C₁，F(xiàn)四點共面；
（2）畫出平面AEC₁F與平面ABCD的交線（寫出畫法和理由）

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AEC₁F為平行四邊形，即可證明A，E，C₁，F(xiàn)四點共面；
（2）連接BD，過A點作AP∥DB，交CB的延長線于點P，得AP即為所求；
由四邊形BFED是平行四邊形得EF∥BD，AP∥BD，得出EF∥AP，即證AP是平面AEC₁F與平面ABCD的交線．

解答 解：（1）證明：如圖所示，取CC₁的中點H，連接BH，EH，
在正方形BCC₁B₁中，BF∥HC₁，BF=HC₁，
可得BFC₁H為平行四邊形，
即有BH∥FC₁，BH=FC₁，
又AB∥EH，AB=EH，可得四邊形ABHE為平行四邊形，
即有AE∥BH，AE=BH，
則AE=FC₁，AE∥FC₁，可得四邊形AEC₁F為平行四邊形，
即A，E，C₁，F(xiàn)四點共面；
（2）連接BD，過A點作AP∥DB，交CB的延長線于點P，
則AP即為平面AEC₁F與平面ABCD的交線；
理由是：連接EF，∵E、F是DD₁、BB₁的中點，
∴BF∥DE，且BF=DE，
∴四邊形BFED是平行四邊形，
∴EF∥BD，
又AP∥BD，
∴EF∥AP，
∴AP是平面AEC₁F與平面ABCD的交線．

點評 本題考查了空間線線與線面的位置關系與應用問題，解題時應注意運用平行四邊形的判定和性質(zhì)，是綜合性題目．