Question

已知集合A={x||x-

π

3

|≤

π

2

}，集合B={y|y=-

1

2

cos2x-2asinx+

3

2

，x∈A}，其中

π

6

≤a≤π，設(shè)全集I=R，若使B⊆A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：解絕對值不等式求得A，計(jì)算y=（sinx-a）²+1-a²，-

1

2

≤sinx≤1，由B⊆A，可得 y_max≤

5π

6

，且 y_min≥-

π

6

．再分當(dāng)

π

6

≤a≤1和當(dāng) 1＜a≤π兩種情況，求得y的最大值和最小值，從而求得a的范圍．

解答：解：∵集合A={x||x-

π

3

|≤

π

2

}={x|-

π

6

≤x≤

5π

6

}，又

π

6

≤a≤π，
集合B={y|y=-

1

2

cos2x-2asinx+

3

2

，x∈A}={ y|y=sin²x-2asinx+1，x∈A}={y|y=（sinx-a）²+1-a²，-

1

2

≤sinx≤1 }，
又∵B⊆A，∴y_max≤

5π

6

，y_min≥-

π

6

．
①當(dāng)

π

6

≤a≤1時(shí)，y_min=1-a²，y_max=(-

1

2

-a)2+1-a²=a+

5

4

，
∵此時(shí)B≠∅，∴y∈[1-a²，a+

5

4

]．
∴

1-a2≥- π 6 a+ 5 4 ≤ 5π 6 π 6 ≤a≤1

，解得

π

6

≤a≤1．
②當(dāng) 1＜a≤π時(shí)，y_min=（1-a）²+1-a²=2-2a，y_max=(-

1

2

-a)2+1-a²=a+

5

4

，
∴

2-2a≥- π 6 a+ 5 4 ≤ 5π 6 1＜a≤π

，解得 1＜a≤1+

π

12

．
綜合①、②可得，

π

6

≤a≤1+

π

12

，故a的范圍是[

π

6

，

π

12

]．

點(diǎn)評：本題主要考查求集合中參數(shù)的取值范圍，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．