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6.已知雙曲線x216-y220=1,橢圓C以雙曲線的焦點為頂點、頂點為焦點,橢圓C的左、右頂點分別為A,B,P(32$$532
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

分析 (1)依題意得橢圓的焦點坐標為(±4,0),利用P在橢圓上,求出a,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由(1)知A(-6,0),B(6,0),直線AP的方程為x-3y+6=0,設點M(m,0),由題意得|m+6|2=|m6|,由此能求出當x=92時,d取得最小值.

解答 解:(1)依題意得橢圓的焦點坐標為(±4,0),
∵P在橢圓上,
∴2a=3242+5322+32+42+5322=12
解得a=6,b2=20,
∴橢圓C的方程為x236+y220=1.
(2)由(1)知A(-6,0),B(6,0),
∴直線AP的方程為x-3y+6=0,
設點M(m,0),由題意得|m+6|2=|m6|
又-6≤m≤6,
∴m=2,∴xzd4kh82=x22+y2=x24x+4+2059x2=49x922+15,
∴當x=92時,d取得最小值15

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓上的點到點M的距離d的最小值的求法,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.

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