Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x-2sin2x+2，x∈R．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值以及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在給定的坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點：五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）由降次公式和輔導(dǎo)角公式（和差角公式），可將函數(shù)的解析式化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合正弦形函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出函數(shù)f（x）的最大值以及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用五點法求出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上幾個關(guān)鍵點的坐標，連線可得函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象．

解答： 解：（I）∵f(x)=

3

sin2x-2sin2x+2=

3

sin2x+1-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
∴f（x）的最大值為3             …（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z…（6分）
∴函數(shù)的最大值為3，單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（7分）
（ II）列表如下     …（10分）

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	2π+ π 6
f（x）	2	3	1	-1	1	2

函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象如下圖所示：
     …（12分）

點評：本題考查的知識點是五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，降次公式和輔導(dǎo)角公式（和差角公式），熟練掌握正弦形函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．