Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，過(guò)其右焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線被雙曲線截得的弦MN的長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求此雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與該雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，且以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求定點(diǎn)Q（0，-1）到直線l的距離d的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，把直線MN的方程代入雙曲線方程整理得2x²+4ax-7a²=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而用弦長(zhǎng)公式表示出||MN|求得a，進(jìn)而根據(jù)離心率求得c，進(jìn)而求得b，則雙曲線方程可得．
（2）直線l與雙曲線法才聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），利用韋達(dá)定理表示出x₃+x₄和x₃x₄，依據(jù)以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以x₃x₄+y₃y₄=0．代入求得1+k2=

2

3

m2由點(diǎn)到直線的距離表示出d，根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進(jìn)而求得d的最大值，此時(shí)的直線l的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則由于離心率e=

c

a

=2，所以c=2a，b²=3a²．
從而雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，且其右焦點(diǎn)為F（2a，0）．
把直線MN的方程y=x-2a代入雙曲線的方程，消去y并整理，得2x²+4ax-7a²=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2a，x1x2=-

7

2

a2．
由弦長(zhǎng)公式，得|MN|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(-2a)2-4(- 7 2 a2)

=6．
所以a=1，b²=3a²=3．
從而雙曲線的方程是x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）由y=kx+m和x2-

y2

3

=1，消去y，得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0．
根據(jù)條件，得△=4k²m²-4（3-k²）（-m²-3）＞0且3-k²≠0．
∴m²+3＞k²≠3．
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則x3+x4=

2km

3-k2

，x3x4=

m2+3

k2-3

．
由于以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以x₃x₄+y₃y₄=0．
即（1+k²）x₃x₄+km（x₃+x₄）+m²=0．
從而有(1+k2)•

m2+3

k2-3

+km•

2km

3-k2

+m2=0，即1+k2=

2

3

m2．
∴點(diǎn)Q到直線l：y=kx+m的距離為：d=

|1+m|

k2+1

=

|1+m|

2 3 m2

=

6

2

|1+

1

m

|．
由k2=

2

3

m2-1≥0，解得-

6

3

≤

1

m

≤

6

3

且

1

m

≠0．
由k2=

2

3

m2-1≠3，解得

1

m

≠±

6

6

．
所以當(dāng)m=

6

2

時(shí)，d取最大值

6

2

(1+

6

3

)=

6 +2

2

，此時(shí)k=0．
因此d的最大值為

6 +2

2

，此時(shí)直線l的方程是y=

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類題是歷年高考命題的熱點(diǎn)，試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點(diǎn)考查學(xué)生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．