Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當x∈R時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（2）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對一切實數(shù)x恒成立，轉化為二次函數(shù)恒為非負，利用根的判別式小于等于0即可．
（2）對于[-2，2]區(qū)間內(nèi)的任意x恒成立，同樣考慮二次函數(shù)，不過須分三種情況討論（如圖所示）：一種是對稱軸在區(qū)間上；另外兩情況是種是區(qū)間在對稱軸的左或右，最后結合圖象即可解決問題．

解答：解：（1）∵x∈R時，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
須△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）當x∈[-2，2]時，設g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三種情況討論（如圖所示）：
①如圖（1），當g（x）的圖象恒在x軸上方時，滿足條件時，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點，
但在x∈[-2，+∞）時，g（x）≥0，即

△≥0 x=- a 2 ≤-2 g(-2)≥0

即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≤-2 4-2a+3-a≥0

?

a≥2或a≤-6 a≥4 a≤ 7 3

解之得a∈Φ．
③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點，
但在x∈（-∞，2]時，g（x）≥0，即

△≥0 x=- a 2 ≥2 g(2)≥0

即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≥2 4+2a+3-a≥0

?

a≥2或a≤-6 a≤-4 a≥-7

?-7≤a≤-6
綜合①②③得a∈[-7，2]．

點評：本題主要了一元二次不等式恒成立的問題，注意（1）、（2）兩問的不同點，都是利用了二次函數(shù)圖象的特點數(shù)形結合解決問題的．