Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（0，1），且長軸長是焦距的$\sqrt{2}$倍．過橢圓左焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線AB垂直于x軸，判斷點O與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）若點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線AB的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=1，2a=2$\sqrt{2}$c，結合a，b，c的關系，可得a，c，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）原點在線段AB為直徑的圓外．求出AB的方程，代入橢圓方程，求得A，B的坐標，可得圓心和半徑，求得O與圓心的距離，即可判斷；
（Ⅲ）設直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程x²+2y²=2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，再求y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1），由點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，可得∠AOB為鈍角，即為$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即有x₁x₂+y₁y₂＜0，代入解不等式即可得到所求k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得b=1，2a=2$\sqrt{2}$c，
即有a=$\sqrt{2}$c，a²-c²=b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）原點在線段AB為直徑的圓外．
理由：由左焦點F（-1，0），可得直線AB的方程為x=-1，
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
可得圓心為（-1，0），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由原點到圓心的距離為1，且1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則原點在線段AB為直徑的圓外；
（Ⅲ）設直線AB的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=k²（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+1）=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，可得∠AOB為鈍角，
即為$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即有x₁x₂+y₁y₂＜0，
即$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$＜0，
解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$．
則直線AB的斜率k的取值范圍是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質，考查點與圓的位置關系，注意運用點與圓心的距離和半徑的關系，以及點與直徑的端點的張角與向量的數(shù)量積的符號的關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．