Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
1.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,1),且長軸長是焦距的2倍.過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線AB垂直于x軸,判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),求直線AB的斜率k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意可得b=1,2a=22c,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,可得a,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外.求出AB的方程,代入橢圓方程,求得A,B的坐標(biāo),可得圓心和半徑,求得O與圓心的距離,即可判斷;
(Ⅲ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程x2+2y2=2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用韋達(dá)定理,再求y1y2=k2(x1+1)(x2+1),由點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),可得∠AOB為鈍角,即為OAOB<0,即有x1x2+y1y2<0,代入解不等式即可得到所求k的范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得b=1,2a=22c,
即有a=2c,a2-c2=b2=1,
解得a=2,c=1,
則橢圓的方程為x22+y2=1;
(Ⅱ)原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外.
理由:由左焦點(diǎn)F(-1,0),可得直線AB的方程為x=-1,
代入橢圓方程x2+2y2=2,可得y=±22,
即有A(-1,22),B(-1,-22),
可得圓心為(-1,0),半徑為22,
由原點(diǎn)到圓心的距離為1,且1>22
則原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外;
(Ⅲ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),
代入橢圓方程x2+2y2=2,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2k221+2k2,
y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)
=k22k221+2k2-4k21+2k2+1)=-k21+2k2
由點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),可得∠AOB為鈍角,
即為OAOB<0,即有x1x2+y1y2<0,
2k221+2k2-k21+2k2<0,
解得-2<k<2
則直線AB的斜率k的取值范圍是(-22).

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì),考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,注意運(yùn)用點(diǎn)與圓心的距離和半徑的關(guān)系,以及點(diǎn)與直徑的端點(diǎn)的張角與向量的數(shù)量積的符號(hào)的關(guān)系,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.若角α的終邊過點(diǎn)(1,-2),則sin2α=-45

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.從邊長為4的正方形ABCD內(nèi)部任取一點(diǎn)P,則P到對角線AC的距離大于2的概率為( �。�
A.116B.14C.34D.18

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來計(jì)算球體的體積:他不直接給出球體的體積,而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積.劉徽通過計(jì)算,“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為4π.后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的18體積計(jì)算公式,即18V=r3-V方蓋差,r為球的半徑,也即正方形的棱長均為2r,為從而計(jì)算出V=43πr3.記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V,棱長為2r的正方形的方蓋差為V方蓋差,則VV=(  )
A.12B.22C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知A,B,C是球O的球面上三點(diǎn),AB=2,AC=23,∠ABC=60°,且棱錐O-ABC的體積為463,則球O的表面積為( �。�
A.10πB.24πC.36πD.48π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x)是偶函數(shù),且f′(1)=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若對于區(qū)間[1,2]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,都有|g(x1)-g(x2)|≤c,其中g(shù)(x)=13f(x)-6lnx,求實(shí)數(shù)c的最小值;
(3)若過點(diǎn)M(2,m),能作曲線y=xf(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.棱長為1的正四面體ABCD中,E為棱AB上一點(diǎn)(不含A,B兩點(diǎn)),點(diǎn)E到平面ACD和平面BCD的距離分別為a,b,則1a+1的最小值為( �。�
A.2B.23C.763D.26

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.在3張獎(jiǎng)券中,一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)各有1張,另1張無獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取1張,則恰有一人獲獎(jiǎng)的概率為(  )
A.23B.13C.12D.56

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.三棱錐P-ABC中,△ABC和△PBC是等邊三角形,側(cè)面PBC⊥面ABC,AB=23,則三棱錐外接球表面積是( �。�
A.18πB.19πC.20πD.21π

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽弫鎰緞婵犲嫷鍚呴梻浣瑰缁诲倿骞夊☉銏犵缂備焦岣块崢閬嶆⒑闂堟稓澧曢柟鍐查叄椤㈡棃顢橀姀锛勫幐闁诲繒鍋犻褔鍩€椤掍胶绠撻柣锝囧厴椤㈡洟鏁冮埀顒€鏁梻浣瑰濡焦鎱ㄩ妶澶嬪剨閹肩补妾ч弨浠嬫煟閹邦剚鈻曢柛銈囧枎閳规垿顢欓悙顒佹瘓闂佺娅曠换鍐Χ閿濆绀冮柕濞у啫绠i梻鍌欒兌閹虫捇顢氶銏犵;婵炴垶姘ㄦ稉宥夋煟濡偐甯涢柍閿嬪灩缁辨帞鈧綆浜滈惃锟犳煛閳ь剛绱掑Ο闀愮盎闂侀潧枪閸庢煡藟閵忊槅娈介柣鎰皺婢э箑鈹戦埄鍐憙妞わ富鍣i弻娑氣偓锝庡亝瀹曞本淇婇銏犳殭闁宠棄顦埢搴ょ疀閺冣偓閻eジ姊虹拠鍙夊攭妞ゎ偄顦叅闁哄诞灞芥闂佸壊鍋呭ú鏍不閻愮儤鐓忓┑鐐茬仢閸斿瓨绻涢幘鎰佺吋闁诡喖缍婂畷鍫曨敂閸曨厼顦╁┑鐘灱椤煤閻斿娼栫紓浣股戞刊鎾煣韫囨洘鍤€缂佹せ鍓濈换娑㈠箻鐎靛壊鏆″銈冨妼閿曘倝鎮鹃悜钘夌骇閹煎瓨鎸婚~宥呪攽椤旂煫顏囥亹婢跺瞼绠斿璺号堥弨浠嬫煟閹邦厽缍戦柣蹇ョ畵閹筹綁濡堕崱鏇犵畾闂佸湱绮敮鐐存櫠濞戞氨纾肩紓浣贯缚濞插鈧娲栧畷顒冪亽闂佸憡绻傜€氬嘲岣块弮鈧穱濠囨倷椤忓嫧鍋撻弴鐘冲床闁圭儤顨呯粣妤呮煛瀹擃喖鏈紞搴g磽閸屾瑧鍔嶉拑鍗炩攽椤栨稒灏﹂柡灞诲€濋獮渚€骞掗幋婵喰戦梻渚€娼уΛ妤呮晝椤忓嫷娼栨繛宸簼椤ュ牓鏌嶉崫鍕殶閼叉牜绱撻崒娆掑厡濠殿喚鏁婚獮鎴﹀炊椤掍礁浠掑銈嗘濞夋洟鎮块埀顒€鈹戦悙鏉戠仸闁荤噦绠戦埢宥夊閵堝棌鎷洪柣鐘充航閸斿苯鈻嶉幇鐗堢厵闁告垯鍊栫€氾拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆撳礉閵堝洨纾界€广儱鎷戦煬顒傗偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備胶绮崝锕傚礈濞嗘挸绀夐柕鍫濇川绾剧晫鈧箍鍎遍幏鎴︾叕椤掑倵鍋撳▓鍨灈妞ゎ厾鍏橀獮鍐閵堝懐顦ч柣蹇撶箲閻楁鈧矮绮欏铏规嫚閺屻儱寮板┑鐐板尃閸曨厾褰炬繝鐢靛Т娴硷綁鏁愭径妯绘櫓闂佸憡鎸嗛崪鍐簥闂傚倷鑳剁划顖炲礉閿曞倸绀堟繛鍡樺灩閻棝鏌涢幇銊︽澓濞存粍绮撻弻锟犲炊瑜庨ˉ婊勭箾鐏炲倸鈧繈骞冮垾鎰佹建闁逞屽墴瀵鎮㈤崨濠勭Ф婵°倧绲介崯顖烆敁瀹ュ鈷戠紒瀣儥閸庢劙鏌涢弮鈧悷鈺侇嚕鐠囨祴妲堟俊顖炴敱閻庡妫呴銏$カ缂佽尙鍋撻弲銉╂⒒閸屾瑦绁版い鏇熺墵瀹曟澘螖閸涱喖浠悷婊冪箰鍗遍柟鐗堟緲缁犲鎮楀☉娅亪顢撻幘缁樷拺闁告稑锕︾粻鎾绘倵濮樺崬鍘撮柛鈹惧亾濡炪倖宸婚崑鎾绘煟椤撶偛鈧灝顕g拠娴嬫闁靛繒濮堥埡鍛厪濠㈣鍨伴崯浼村储娴犲鐓熼幖娣焺閸熷繘鏌涢悩宕囧⒌闁炽儻绠撻弻銊р偓锝傛櫇缁犳岸姊鸿ぐ鎺擄紵缂佲偓娓氣偓閹€斥槈閵忥紕鍘遍柣蹇曞仜婢т粙鎮¢婊呯<闁靛ǹ鍊楅惌娆愭叏婵犲嫮甯涢柟宄版嚇瀹曘劑妫冨☉姘毙ㄩ悗娈垮枤閺佸銆佸Δ鍛<婵犲﹤鎳愰崢顖炴⒒娴d警鏀伴柟娲讳簽閳ь剟娼ч惌鍌氼嚕椤愶箑纾奸柣鎰嚟閸欏棝姊虹紒妯荤闁稿﹤婀遍埀顒佺啲閹凤拷