分析 (Ⅰ)由題意可得b=1,2a=2√2c,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,可得a,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外.求出AB的方程,代入橢圓方程,求得A,B的坐標(biāo),可得圓心和半徑,求得O與圓心的距離,即可判斷;
(Ⅲ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程x2+2y2=2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用韋達(dá)定理,再求y1y2=k2(x1+1)(x2+1),由點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),可得∠AOB為鈍角,即為→OA•→OB<0,即有x1x2+y1y2<0,代入解不等式即可得到所求k的范圍.
解答 解:(Ⅰ)由題意可得b=1,2a=2√2c,
即有a=√2c,a2-c2=b2=1,
解得a=√2,c=1,
則橢圓的方程為x22+y2=1;
(Ⅱ)原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外.
理由:由左焦點(diǎn)F(-1,0),可得直線AB的方程為x=-1,
代入橢圓方程x2+2y2=2,可得y=±√22,
即有A(-1,√22),B(-1,-√22),
可得圓心為(-1,0),半徑為√22,
由原點(diǎn)到圓心的距離為1,且1>√22,
則原點(diǎn)在線段AB為直徑的圓外;
(Ⅲ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),
代入橢圓方程x2+2y2=2,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2k2−21+2k2,
y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)
=k2(2k2−21+2k2-4k21+2k2+1)=-k21+2k2,
由點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),可得∠AOB為鈍角,
即為→OA•→OB<0,即有x1x2+y1y2<0,
即2k2−21+2k2-k21+2k2<0,
解得-√2<k<√2.
則直線AB的斜率k的取值范圍是(-√2,√2).
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì),考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,注意運(yùn)用點(diǎn)與圓心的距離和半徑的關(guān)系,以及點(diǎn)與直徑的端點(diǎn)的張角與向量的數(shù)量積的符號(hào)的關(guān)系,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 116 | B. | 14 | C. | 34 | D. | 18 |
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A. | 12 | B. | √22 | C. | √2 | D. | √3 |
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A. | 10π | B. | 24π | C. | 36π | D. | 48π |
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A. | 2 | B. | 2√3 | C. | 7√63 | D. | 2√6 |
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A. | 23 | B. | 13 | C. | 12 | D. | 56 |
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A. | 18π | B. | 19π | C. | 20π | D. | 21π |
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