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證明:
(1)已知x,y都是正實數,求證:x3+y3≥x2y+xy2
(2)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:
【答案】分析:(1)用比較法證明不等式,(x3+y3 )-(x2y+xy2)=(x+y)(x-y)2,分析符號可得結論.
(2)由題意得,1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2),結論得證.
解答:證明:(1)∵(x3+y3 )-(x2y+xy2)=x2 (x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2 )
=(x+y)(x-y)2
∵x,y都是正實數,∴(x-y)2≥0,(x+y)>0,∴(x+y)(x-y)2≥0,
∴x3+y3≥x2y+xy2
(2)∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,∴1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤3(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2,當且僅當a=b=c 時,等號成立.
點評:本題考查用比較法證明不等式,基本不等式的應用,將式子變形是證明的關鍵.
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