Question

若a、b是正數(shù)，則

a+b

2

、

ab

、

2ab

a+b

、

a2+b2 2

這四個數(shù)的大小順序是（　　）

• A、

  ab

  ≤

  a+b

  2

  ≤

  2ab

  a+b

  ≤

  a2+b2 2

• B、

  a2+b2 2

  ≤

  ab

  ≤

  a+b

  2

  ≤

  2ab

  a+b

• C、

  2ab

  a+b

  ≤

  ab

  ≤

  a+b

  2

  ≤

  a2+b2 2

• D、

  ab

  ≤

  a+b

  2

  ≤

  a2+b2 2

  ≤

  2ab

  a+b

Answer 1

分析：法一，根據(jù)題意，比較

a+b

2

、

ab

、

2ab

a+b

、

a2+b2 2

的大小即可，根據(jù)基本不等式，有a+b≥2

ab

，即

a+b

2

≥

ab

，
又可得

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，對于

a+b

2

與

a2+b2 2

的大小，把

a+b

2

變形為

(a+b)2 4

即

a2+b2+2ab 4

，進而由不等式的基本性質(zhì)，和

a2+b2 2

比較可得答案．
法二，使用特殊值法，可設(shè)a=1，b=2，代入四個代數(shù)式中，計算并比較大小可得答案．

解答：解：法一，本題要求比較

a+b

2

、

ab

、

2ab

a+b

、

a2+b2 2

的大小，
根據(jù)基本不等式，有a+b≥2

ab

，即

a+b

2

≥

ab

，
又可得

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，

a+b

2

=

(a+b)2 4

=

a2+b2+2ab 4

≤

a2+b2 2

，
整理可得，有

2ab

a+b

≤

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
故選C．
法二，可設(shè)a=1，b=2，
則

a+b

2

=

3

2

，

ab

=

2

，

2ab

a+b

=

4

3

，

a2+b2 2

=

1+4 2

=

5

2

=

2.5

，
比較有

2ab

a+b

≤

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
故選C．

點評：本題考查基本不等式的性質(zhì)及運用，針對本題，可選用特殊方法，如排除法或特殊值法，（如本題的法二）．