Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

(a-2)x(x≥2) ( 1 π ∫-11 1-x2 dx)x-1(x＜2)

，an=f(n)，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為

(-∞，

7

4

)

．

Answer 1

分析：先進(jìn)行定積分運(yùn)算求出f（x），進(jìn)而得到a_n=f（n），根據(jù)數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，可得

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解出即得a的范圍．

解答：解：因為

∫

1 -1

1-x2

dx表示單位圓位于x軸上方的半圓面積，所以

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

π，
則(

1

π

∫

1 -1

1-x2

dx)x=（

1

2

）^x，
所以f（x）=

(a-2)x，x≥2 ( 1 2 )x-1，x＜2

，
所以a_n=f（n）=

(a-2)n，n≥2 ( 1 2 )n-1，n＜2

，
因為數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，所以a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1＞…，
所以有

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解得a＜

7

4

，
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，

7

4

）．
故答案為：（-∞，

7

4

）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、定積分及遞減數(shù)列，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力．