Question

已知橢圓C：的右焦點為F（1，0），短軸的端點分別為B₁，B₂，且=-a．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點，弦MN的垂直平分線與x軸相交于點D．設(shè)弦MN的中點為P，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積即可得到1-b²=-a，又a²-b²=1，即可解得a、b；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到線段MN的中點P的坐標，利用弦長公式即可得到|MN|，利用點斜式即可得到線段MN的垂直平分線DP的方程，利用兩點間的距離公式或點到直線的距離公式即可得到|DP|，進而得出的關(guān)于斜率k的表達式，即可得到其取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意不妨設(shè)B₁（0，-b），B₂（0，b），則，．
∵=-a，∴1-b²=-a，又∵a²-b²=1，解得a=2，．
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）由題意得直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，．
∴弦MN的中點P．
∴|MN|===．
直線PD的方程為．
∴|DP|=．
∴===．
又∵k²+1＞1，∴，
∴．
∴的取值范圍是．
點評：熟練掌握直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、線段MN的中點坐標公式、弦長公式、點斜式、線段的垂直平分線的方程、兩點間的距離公式或點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..