Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C:的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（Ⅱ）若直線L：與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：的面積為定值

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，由離心率為找出關(guān)系再利用橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切求出b的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，，，又，

聯(lián)立解得，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，則A,B的坐標(biāo)滿足

消去y化簡得，

， ，得

=。

，，即

即

=。O到直線的距離

=

== 為定值.

考點(diǎn)：（1）求橢圓的方程,（2）直線與橢圓的綜合問題