Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在左頂點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離為5，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-3，-6），則雙曲線的焦距為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 點（-3，-6）在拋物線的準線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=6，進而可得拋物線的焦點坐標，依據(jù)題意，可得雙曲線的左頂點的坐標，即可得a的值，由點（-3，-6）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進而可得b的值，由雙曲線的性質(zhì)，可得c的值，則雙曲線的焦距可求．

解答 解：已知雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-3，-6），
即點（-3，-6）在拋物線的準線上，又由拋物線y²=2px的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，得p=6，
則拋物線的焦點為（3，0）．
則雙曲線的左頂點為（-2，0），即a=2；
點（-3，-6）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±2x，
即$\frac{a}=2$，可得b=4．
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，則焦距為2c=$4\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，靈活運用雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-3，-6）是關(guān)鍵，是中檔題．