Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³-6x²-1，
∴f′（x）=3x²-12x，
由f′（x）=3x²-12x=0，得x₁=0，x₂=4，
列表討論，得：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表知：f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞），減區(qū)間為（0，4）．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取極大值f（0）=-1；
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取極小值f（4）=64-6×16-1=-33．
（2）∵g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立
∴f（x）-c≥2c+1對?x∈[-1，2]恒成立，
∴3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立．
∵由f′（x）=3x²-12x=0，得x₁=0∈[-1，2]，x₂=4∉[-1，2]，舍，
f（-1）=-1-6-1=-8，
f（0）=0-0-1=-1，
f（2）=8-24-1=-17，
∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_min=f（2）=-17，
∴3c+1≤-17，
∴c≤-6．
故c的取值范圍是（-∞，-6]．
分析：（1）f（x）=x³-6x²-1，知f′（x）=3x²-12x，由f′（x）=3x²-12x=0，得x₁=0，x₂=4，由此列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（2）由f（x）-c≥2c+1，知3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_min=f（2）=-17．由此能求出c的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化．