(2012•天津模擬)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=
2
,E為PD上一點,PE=2ED.
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D-AC-E的余弦值;
(Ⅲ)在側棱PC上是否存在一點F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F點的位置,并證明;若不存在,說明理由.
分析:(I)根據(jù)勾股定理的逆定理,得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形,從而有PA⊥AD,再結合PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,可得PA⊥平面ABCD;
(II)過E作EG∥PA 交AD于G,連接BD交AC于O,過G作GH∥OD,交AC于H,連接EH.利用三垂線定理結合正方形ABCD的對角線互相垂直,可證出∠EHG為二面角D-AC-E的平面角.分別在△PAB中和△AOD中,求出EH=
1
3
,GH=
2
3
,在Rt△EHG中利用三角函數(shù)的定義,得到tan∠EHG=
EG
GH
=
2
2
.最后由同角三角函數(shù)的關系,計算得cos∠EHG=
6
3

(III)以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.分別給出點A、B、C、P、E的坐標,從而得出
AC
=(1,1,0),
AE
=(0,
2
3
,
1
3
 ),利用向量數(shù)量積為零的方法,列方程組可算出平面AEC的一個法向量為
n
=(-1,1,-2 ).假設側棱PC上存在一點F,使得BF∥平面AEC,則
BF
=
BC
+
CF
=(-λ,1-λ,λ),且有
BF
?
n
=0.所以
BF
?
n
=λ+1-λ-2λ=0,解之得λ=
1
2
,所以存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.
解答:解:(Ⅰ)∵PA=AD=1,PD=
2

∴PA2+AD2=PD2,可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD---(2分)
又∵PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,
∴PA⊥平面ABCD-------(4分)
(Ⅱ)過E作EG∥PA 交AD于G,
∵EG∥PA,PA⊥平面ABCD,
∴EG⊥平面ABCD,
∵△PAB中,PE=2ED
∴AG=2GD,EG=
1
3
PA=
1
3
,------(5分)
連接BD交AC于O,過G作GH∥OD,交AC于H,連接EH.
∵OD⊥AC,GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD,HG是斜線EH在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴EH⊥AC,可得∠EHG為二面角D-AC-E的平面角.-----(6分)
∴Rt△EGH中,HG=
2
3
OD=
1
3
BD=
2
3
,可得tan∠EHG=
EG
GH
=
2
2

由同角三角函數(shù)的關系,得cos∠EHG=
1
1+tan2∠EHG
=
6
3

∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值為
6
3
-------(8分)
(Ⅲ)以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E(0,
2
3
1
3
),
AC
=(1,1,0),
AE
=(0,
2
3
,
1
3
 )---(9分)
設平面AEC的法向量
n
=(x,y,z),根據(jù)數(shù)量積為零,可得
n
AC
=0
n
AE
=0
,即:
x+y=0
2y+z=0
,令y=1,得
n
=(-1,1,-2 )-------------(10分)
假設側棱PC上存在一點F,且
CF
CP
,(0≤λ≤1),使得:BF∥平面AEC,則
BF
?
n
=0.
又∵
BF
=
BC
+
CF
=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
BF
?
n
=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=
1
2

所以存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.----------------(13分)
點評:本題給出一個特殊的棱錐,通過證明線面垂直和求二面角的大小,著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點,屬于中檔題.
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g(1)
+
f(-1)
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=
5
2
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