Question

已知偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上滿足：當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁≠x₂時(shí)，總有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，則不等式f（x-1）＜f（x）的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，直接構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²，問題轉(zhuǎn)化為解不等式（x-1）²＜x²，解出即可．

解答： 解：依題意：偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
直接構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²，
問題轉(zhuǎn)化為解不等式（x-1）²＜x²，解之得：x＞

1

2

，
所以不等式f（x-1）＜f（x）的解集為{x∈R|x＞

1

2

}．
另解：依題意：偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
由于f（x-1）＜f（x），即f(|x-1|)＜f(|x|)?|x-1|＜|x|?x＞

1

2

所以不等式f（x-1）＜f（x）的解集為{x∈R|x＞

1

2

}；
故答案為：{x|x＞

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查構(gòu)造新函數(shù)問題，是一道中檔題．