Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

1

2

x，-sin

1

2

x），且x∈[0，

π

2

]．求：
（Ⅰ） 

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合差角的三角函數(shù)，角的范圍，即可得出結(jié)論；
（II）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，設(shè)t=cosx，可得y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，分類討論，利用最小值是-

3

2

，即可求λ的值．

解答：解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

1

2

x=cos2x--------------------（3分）
|

a

+

b

|=

a 2+2 a • b + b 2

=

2+2cos2x

=

2(1+cos2x)

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0，∴|

a

+

b

|=2cosx．-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，設(shè)t=cosx，
則∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]
即y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²．----------------------------------------（7分）
①λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，y取最小值-1，這與已知矛盾--------------------（8分）
②當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=λ時(shí)，y取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

---------------------------------------------（10分）
③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，y取得最小值1-4λ．
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，這與λ＞1相矛盾．
綜上λ=

1

2

為所求．-----------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．