Question

等邊三角形ABC的邊長為3，點D，、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，連接A₁B、A₁C．

（1）求證：A₁D⊥平面BCED；
（2）求A₁E與平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）在線段BC上是否存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得A₁D⊥DE，BD⊥DE，A₁D⊥BD，由此能證明A₁D⊥平面BCED．
（2）以D為空間直角坐標系的原點，以DB、DE、DA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出A₁E與平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）假設在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，利用向量法能推導出此時PB=

5

2

．

解答： （1）證明：由題知在圖1中，在△ADE中，AD=1，AE=2，
則DE²=AD²+AE²-2AD•AE•cosA=3，
即得：DE=

3

，所以AE²=AD²+DE²，
即得∠ADE=90°，
則在圖2中，有A₁D⊥DE，BD⊥DE，
二面角A₁-DE-B的平面角∠A₁DB=90°，
即得A₁D⊥BD，
∵A₁D⊥BD，A₁D⊥DE，且BD，DE?平面BCDE，
BD∩DE=D，∴A₁D⊥平面BCED．
（2）解：由（1）知：A₁D⊥BD，A₁D⊥DE，BD⊥DE，
所以以D為空間直角坐標系的原點，
以DB、DE、DA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），A₁（0，0，1），E（0，

3

，0），B（2，0，0），C（

1

2

，

3 3

2

，0），
∴

BC

=(-

3

2

，

3 3

2

，0)，

BA1

=（-2，0，1），

A1E

=（0，

3

，-1），
令平面A₁BC的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • BC =- 3 2 x+ 3 3 2 y=0 n • BA1 =-2x+z=0

，得

n

=（1，

1

3

，2），
記A₁E與平面A₁BC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

A1E

＞|=|

0+1-2

4 • 1+4+ 1 3

|=

3

8

．
∴A₁E與平面A₁BC所成角的正弦值為

3

8

．
（3）解：假設在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°．
令

BP

=λ

BC

，
則

PA1

=

BA1

-

BP

=（

3

2

λ-2，-

3 3

2

λ，1），
而平面A₁BD的一個法向量為

m

=（0，1，0），
則由|

PA1 • m

| m |•| PA1 |

|=

3

2

，解得λ=

5

6

，
∴在線段BC上存在點P，使得直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，此時PB=

5

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查滿足條件遙點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．