已知是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實(shí)數(shù),它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合.試問下列命題是否是真命題,如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)舉反例說明.
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)都在同一條直線上;
(2)至多有一個(gè)元素;
(3)當(dāng)a1≠0時(shí),一定有.
見解析
【解析】
試題分析:(1)正確.在等差數(shù)列中,則這表明點(diǎn) 的坐標(biāo)適合方程,于是點(diǎn)均在直線上.
(2)正確.設(shè),則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解.由方程組消去y得:,當(dāng)a1=0時(shí),方程(*)無解,此時(shí);當(dāng)a1≠0時(shí),方程(*)只有一個(gè)解,此時(shí),方程組也只有一個(gè)解,故上述方程組至多有一解.
∴至多有一個(gè)元素.
(3)不正確.取a1=1,d=1,對(duì)一切的有,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),其橫、縱坐標(biāo)均為正,另外,由于.如果,那么由(2)知中至多有一個(gè)元素,而,
這樣的,矛盾,故a1=1,d=1時(shí),所以a1≠0時(shí),一定有是不正確的.
考點(diǎn):本題主要考查集合的運(yùn)算、等差數(shù)列及其性質(zhì)、直線方程。
點(diǎn)評(píng):這是解析幾何與數(shù)列的綜合題目,屬中檔題。對(duì)于數(shù)列的應(yīng)用考查的比較多,這種題目可以作為高考卷的壓軸題目出現(xiàn),題目中對(duì)于最后一問的證明要注意應(yīng)用前面的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
Sn |
n |
1 |
4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
已知
是等差數(shù)列,d是公差且不為零,它的前n項(xiàng)和為設(shè)集合,若以A中元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),這些點(diǎn)都在同一直線上,求這直線的斜率.查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
已知是等差數(shù)列,d是公差且不為零,它的前n項(xiàng)和為設(shè)集合,若以A中元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),這些點(diǎn)都在同一直線上,求這直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1 1.1命題及其關(guān)系練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實(shí)數(shù),它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合.試問下列命題是否是真命題,如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)舉反例說明.
。1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)都在同一條直線上;
(2)至多有一個(gè)元素;
。3)當(dāng)a1≠0時(shí),一定有.
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