Question

已知方程x₁+x₂+x₃+x₄=20，則這個(gè)方程的正整數(shù)解的組數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,排列組合

分析：根據(jù)題意，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為20個(gè)小球的分組問(wèn)題：假設(shè)有20個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，利用擋板法將其分成4組，四個(gè)小組的小球數(shù)目分別對(duì)應(yīng)x₁、x₂、x₃、x₄，由組合數(shù)公式計(jì)算即可得答案．

解答： 解：假設(shè)有20個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，共有19個(gè)空位，
在其中選3個(gè)，插入擋板，即可將20個(gè)小球分成4組，有C₁₉³種分組方法；
第一組小球的數(shù)目是x₁，第二組小球的數(shù)目是x₂，第三組小球的數(shù)目是x₃，第四組小球的數(shù)目是x₄，
則方程的正整數(shù)解的組數(shù)就是C₁₉³=969；
故答案為：969．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵在于將原問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而運(yùn)用擋板法求解．