Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，若PA=AD=3，CD=

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①求證：AF∥平面PCE
②求證：平面PCE⊥平面PCD
③求直線FC與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：①根據(jù)有中點找中點做出輔助線，得到三組線線平行，得到四邊形是一個平行四邊形，得到線線平行，根據(jù)線面平行的判斷得到結(jié)論．
②要證明面面垂直，根據(jù)證明面面垂直的判斷需要找一條和兩個平面垂直的一條直線，根據(jù)線面垂直的判斷和性質(zhì)，得到結(jié)論．
③在平面PCD內(nèi)作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在這個可解的三角形中，求出角的正弦值．

解答：解：①取PC中點G，連接EG，F(xiàn)G；又由F為PD中點
∴FG

∥ .

.

1

2

CD
又∵AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，即可得四邊形AEFG是平行四邊形
∴AF∥EG
又AF?平面PCE，EG?平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD內(nèi)
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F(xiàn)為AD中點
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD內(nèi)作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC與平面PCE所成的角
在△FCH中，FH=

3 2

4

，FC=

42

2

∴sin∠FCH=

21

14

∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為

21

14

（12分）

點評：本題考查空間的點線面之間的位置關(guān)系和二面角的求法，解題的關(guān)鍵是畫出二面角的平面角，把平面角放到一個可解的三角形中求解．