Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A－DF－B的大小．

(Ⅲ)試問：在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得直線PF與AD所成角為60°？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE　　1分 　　∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形， 　　∴四邊形AOEM是平行四邊形　　2分 　　∴AM∥OE 　　∵平面BDE，平面BDE　　4分 　　∴AM∥平面BDE． 　　 (Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS， 　　∵AB⊥AF，AB⊥AD， 　　∴AB⊥平面ADF　　6分 　　∴AS是BS在平面ADF上的射影， 　　由三垂線定理得BS⊥DF． 　　∴∠BSA是二面角A－DF－B的平面角． 　　在RtΔASB中， 　　∴ 　　∴二面角A－DF－B的大小為60o　　8分 　　(Ⅲ)設(shè)CP＝t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD， 　　∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， 　　∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF， 　　∴PQ⊥QF　　9分 　　在RtΔPQF中，∠FPQ＝60o，PF＝2PQ． 　　∵ΔPAQ為等腰直角三角形， 　　∴　　10分 　　又∵ΔPAF為直角三角形， 　　∴， 　　∴ 　　所以t＝1或t＝3(舍去) 　　即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)　　12分 　　方法二(仿上給分) 　　(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)，連接NE， 　　則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是(、(0，0，1)， 　　∴NE＝(， 　　又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是 　　()、( 　　∴AM＝( 　　∴NE＝AM且NE與AM不共線， 　　∴NE∥AM． 　　又∵平面BDE，平面BDE， 　　∴AM∥平面BDF． 　　(Ⅱ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF 　　∴AB⊥平面ADF． 　　∴為平面DAF的法向量． 　　∵NE·DB＝(·＝0， 　　∴NE·NF＝(·＝0得 　　NE⊥DB，NE⊥NF， 　　∴NE為平面BDF的法向量． 　　∴cos＜AB，NE＞＝ 　　∴AB與NE的夾角是60o． 　　即所求二面角A－DF－B的大小是60o． 　　(Ⅲ)設(shè)P(t，t，0)(0≤t≤)得 　　 　　∴DA＝(0，，0，)， 　　又∵PF和AD所成的角是60o． 　　∴ 　　解得或(舍去)， 　　即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．