精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．
分析：（1）首先分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，然后確定點M、N的坐標，進而確定
MN
的坐標，再找到平面EBC的一個法向量
BA
，并確定它的坐標，最后計算
MN
•
BA
為0即可．
（2）由
MN
的坐標表示出其長度，再利用配方法即可求出它的最小值．
解答：精英家教網（1）證明：依題意可分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立；
如圖所示空間直角坐標系，
因為正方形ABCD與ABEF的邊長為1，且AN=DM，
所以設BM=x，則NE=x，NA=
2
-x，且x∈[0，
2
]，
所以M（
2
2
x，
2
2
x，0），N（
2
2
x，0，1-
2
2
x），
所以
MN
=（0，-
2
2
x，1-
2
2
x），
因為平面EBC的一個法向量為
BA
=（1，0，0）
所以
MN
•
BA
=0，即
MN
⊥
BA
，
又MN?平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）解：由（1）
MN
=（0，-
2
2
x，1-
2
2
x），得
|
MN
|=
x2-
2
x+1 
=
(x-
2
2
)2+
1
2
，
又x∈[0，
2
]，所以當x=
2
2
時，|
MN
|min=
2
2
．
即MN長度的最小值為
2
2
．
點評：本題主要考查向量法解決立體幾何問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網一個幾何體的三視圖如右圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側視圖是一個長為
3
，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．
（Ⅰ）求該幾何體的體積V；
（Ⅱ）求該幾何體的表面積S．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

某同學為研究函數f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數f（x）的值域是
[
2
+1，
5
]
[
2
+1，
5
]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數f（x）的圖象的對稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
；函數g（x）=4f（x）-9的零點的個數是
2
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：高考數學一輪復習必備（第77課時）：第九章 直線、平面、簡單幾何體-空間向量的坐標運算（解析版） 題型：解答題

如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案