Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且滿足2x₀=m+n，問：函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意寫出g（x）再求導(dǎo)數(shù)，由題意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤2x+

1

x

，再利用基本不等式求右邊的最小值，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）先假設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx．結(jié)合題意列出方程組，利用換元法導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，證出ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

在（0，1）上成立，從而出現(xiàn)與題設(shè)矛盾，說明原假設(shè)不成立．由此即可得到函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，∴g′（x）=

1

x

+2x-a
由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+

1

x

）_min
又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時等號成立
故（2x+

1

x

）_min=2

2

，所以a≤2

2

（Ⅱ）設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結(jié)合題意，有

2lnm-m2-km=0…① 2lnn-n2-kn=0…② m+n=2x0…③ 2 x0 -2x0-k=0…④

①-②得2ln

m

n

-（m+n）（m-n）=k（m-n）
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x₀
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

…⑤
設(shè)u=

m

n

∈（0，1），得⑤式變?yōu)閘nu-

2u-2

u+1

=0（u∈（0，1））
設(shè)y=lnu-

2u-2

u+1

（u∈（0，1）），可得y′=

1

u

-

2(u+1)-(2u-2)

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函數(shù)y=lnu-

2u-2

u+1

在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2u-2

u+1

＜0，也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評：本題給出含有對數(shù)符號的基本初等函數(shù)函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性并探索函數(shù)圖象的切線問題，著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．