Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥2mx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3，f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x-1，可求a，b，c，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）；
（2）由m∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）≥2mx恒成立，可得x²-2x+3-2mx≥0在m∈[-1，1]上恒成立，令g（m）=-2mx+（x²-2x+3），結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得

g(-1)=2m+6≥0 g(1)=-2m+2≥0

，從而可求m的范圍．

解答： 解：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=3，
∴c=3，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x-1，
∴a=1，b=-2，…．（2分）
故f（x）=x²-2x+3…．（1分）
（2）因?yàn)閙∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）≥2mx恒成立，
即x²-2x+3-2mx≥0在x∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=-2mx+（x²-2x+3），
則由

g(-1)=2m+6≥0 g(1)=-2m+2≥0

得：m∈[-3，1]，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[-3，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的恒成立求解參數(shù)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，及利用轉(zhuǎn)化與化歸思想把所求二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)進(jìn)行求解