已知圓C：（x-1）2+（y-3）2=4，過原點O的直線l與圓C相交于A、B兩點
（1）若弦AB的長為2
2
，求直線l的方程；
（2）求證：
OA
•
OB
為定值．
分析：（1）設(shè)出直線AB的方程，利用弦AB的長為2
2
，通過半弦長，半徑，弦心距，求出直線中變量的值，可得直線l的方程；
（2）通過直線的斜率不存在與存在兩種情況分別證明：
OA
•
OB
為定值．斜率存在時，聯(lián)立直線與圓的方程，通過向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求出數(shù)量積為定值即可．
解答：解：（1）設(shè)直線方程y=kx，所以(
|k-3|
1+k2
)2+(
2
)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直線方程為y=x或y=-7x…（5分）
（2）當(dāng)k不存在時，直線為x=0，此時
OA
•
OB
=6…（6分）
當(dāng)k存在時，設(shè)直線y=kx，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
y=kx
(x-1)2+(y-3)2=4

消y得（1+k2）x2-（6k+2）x+6=0，…（7分）
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=
6
1+k2

所以
OA
•
OB
=6
綜上：
OA
•
OB
=6…（11分）
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長與半徑，弦心距的關(guān)系，解答直線方程時注意直線的斜率是否存在是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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已知圓C：（x+1）2+y2=25及點A（1，0），Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，則點M的軌跡方程為
 
．

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已知圓C：（x-1）2+y2=9內(nèi)有一點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A、B
（1）當(dāng)弦AB被點P平分時，寫出直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，求弦AB的長．
（3）設(shè)圓C與x軸交于M、N兩點，有一動點Q使∠MQN=45°．試求動點Q的軌跡方程．

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已知圓C：（x-1）2+y2=9內(nèi)有一點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A、B兩點．
（1）當(dāng)l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；
（2）當(dāng)弦AB的長為4
2
時，寫出直線l的方程．

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已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=5，直線l：x-y=0，則C關(guān)于l的對稱圓C′的方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+（y+1）2=1，那么圓心C到坐標(biāo)原點O的距離是
2
2
．

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