精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數．

（1）當時,求在點處的切線方程;

（2）若對于任意的,恒有成立,求的取值范圍．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，對求導，是切點的縱坐標，是切線的斜率，利用點斜式列出切線方程；第二問，先將對于任意的,恒有成立，轉化為，對求導，再構造函數，利用的正負，判斷的單調性，從而確定，繼續(xù)將題目轉化為恒成立，通過整理，需證明的取值范圍，從而解出a的取值范圍．

試題解析：（1）當時，，

∴，∴，

∵，

∴在點處的切線方程為：．

（Ⅱ）∵ ∴

令,則

∴在上遞增

∵,當時, ∴存在,使,

且在上遞減 ,在上遞增

∵ ∴,即

∵對于任意的,恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴

令,而,當時,

∴存在,使

∵在上遞增,∴

∴

∵在上遞增 ∴

∴ ∴．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某縣教育局為了檢查本縣甲、乙兩所學校的學生對安全知識的學習情況，在這兩所學校進行了安全知識測試，隨機在這兩所學校各抽取20名學生的考試成績作為樣本，成績大于或等于80分的為優(yōu)秀，否則為不優(yōu)秀，統(tǒng)計結果如下圖：

甲校 乙校

（1）從乙校成績優(yōu)秀的學生中任選兩名，求這兩名學生的成績恰有一個落在內的概率；

（2）由以上數據完成下面列聯表，并回答能否在犯錯的概率不超過0.1的前提下認為學生的成績與兩所學校的選擇有關。

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計

參考數據

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

span>3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，對于直線和點、，記，若，則稱點,被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點,被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.

（1）求證：點、被直線分隔；

（2）若直線是曲線的分隔線，求實數的取值范圍；

（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，函數．

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）當時，證明：對一切的，都有恒成立；

（Ⅲ）當時，函數，有最小值，記的最小值為，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，若曲線上始終存在兩點，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．

（1）求的取值范圍；

（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經過點P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內一點E(1，0)，過點E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，交直線l于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知雙曲線的兩條漸近線分別為.為坐標原點，動直線分別交直線于兩點(分別在第一四象限)，且的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案