Question

已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax2)在[0，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．

Answer 1

設(shè)μ=3-ax²，
則原函數(shù)f（x）=log_a（3-ax²）是函數(shù)：y=log_aμ，μ=3-ax²的復(fù)合函數(shù)，
①當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_au在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而函數(shù)μ=3-ax²在[0，3]上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞減，與題意不符；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_au在（0，+∞）上是減函數(shù)，
函數(shù)μ=3-ax²在[0，3]上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有

0＜a＜1 3-a•32＞0

，解得0＜a＜

1

3

．
綜①②，得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

1

3

）．
故答案為：（0，

1

3

）．