Question

13．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC與BD交于點F，直線BC與AD交于點E．
（Ⅰ）證明：AC=CE；
（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等腰三角形的性質(zhì)，證明∠CAE=∠E，即可證明：AC=CE；
（Ⅱ）證明△ADF∽△BDA，即可求AD的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=2∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC+∠E，
∴∠DBC=∠E，
∵∠DBC=∠CAE，
∴∠CAE=∠E，
∴AC=CE．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABD=∠DBC=∠CAD，∠ADF=∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DF}{AD}$，
∴AD²=DF•BD=12，
∴AD=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．