Question

（2014•江門(mén)模擬）已知拋物線(xiàn)Σ₁：y=

1

4

x2的焦點(diǎn)F在橢圓Σ₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)Σ₁相切于點(diǎn)P（2，1），并經(jīng)過(guò)橢圓Σ₂的焦點(diǎn)F₂．
（1）求橢圓Σ₂的方程；
（2）設(shè)橢圓Σ₂的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，試判斷直線(xiàn)FF₁與l的位置關(guān)系．若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若平行，求兩直線(xiàn)之間的距離．

Answer 1

分析：（1）拋物線(xiàn)y=

1

4

x2即x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），代入橢圓的方程可得b．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：切線(xiàn)l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，進(jìn)而得到切線(xiàn)l方程．再由切線(xiàn)方程，令y=0，可得c，利用a=

b2+c2

，即可得到a．
（2）利用點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)FF₁的方程，即可判斷二直線(xiàn)平行，利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得距離．

解答：解：（1）拋物線(xiàn)y=

1

4

x2即x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），
由題意可得

0

a2

+

1

b2

=1，解得b=1，
切線(xiàn)l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，
∴切線(xiàn)l方程為y-1=x-2，即x-y-1=0，
令y=0，解得x=1．∴焦點(diǎn)F₂（1，0），即c=1．
∴a=

b2+c2

=

2

，
橢圓Σ₂的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）得F₁（-1，0），
直線(xiàn)FF₁的方程為

y-0

1-0

=

x-(-1)

0-(-1)

，即x-y+1=0，
∵kFF1=k=1，且F₁（-1，0）不在直線(xiàn)l上，
∴直線(xiàn)FF₁∥l，
FF₁與l之間的距離即為F（0，1）到直線(xiàn)l的距離d=

|0-1-1|

12+12

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、平行線(xiàn)之間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．