(2013•山東)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,離心率為
3
2
,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1,PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k≠0,試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值,并求出這個(gè)定值.
分析:(1)把-c代入橢圓方程得
c2
a2
+
y2
b2
=1
,解得y=±
b2
a
,由已知過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1,可得
2b2
a
=1
.再利用e=
c
a
=
3
2
,及a2=b2+c2即可得出;
(2)設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分線的性質(zhì)可得
t
n
=
|MF1|
|F2M|
=
m+
3
3
-m
,利用橢圓的定義可得t+n=2a=4,消去t得到
4-n
n
=
3
+m
3
-m
,化為n=
2(
3
-m)
3
,再根據(jù)a-c<n<a+c,即可得到m的取值范圍;
(3)設(shè)P(x0,y0),不妨設(shè)y0>0,由橢圓方程
x2
4
+y2=1
,取y=
1-
x2
4
,利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率,再利用斜率計(jì)算公式即可得到k1,k2,代入即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)把-c代入橢圓方程得
c2
a2
+
y2
b2
=1
,解得y=±
b2
a
,
∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1,∴
2b2
a
=1

e=
c
a
=
3
2
,聯(lián)立得
2b2
a
=1
a2=b2+c2
c
a
=
3
2
解得
a=2,b=1
c=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(2)如圖所示,設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,
由角平分線的性質(zhì)可得
t
n
=
|MF1|
|F2M|
=
m+
3
3
-m

又t+n=2a=4,消去t得到
4-n
n
=
3
+m
3
-m
,化為n=
2(
3
-m)
3
,
∵a-c<n<a+c,即2-
3
<n<2+
3
,也即2-
3
2(
3
-m)
3
<2+
3
,解得-
3
2
<m<
3
2

∴m的取值范圍;(-
3
2
3
2
)

(3)證明:設(shè)P(x0,y0),
不妨設(shè)y0>0,由橢圓方程
x2
4
+y2=1
,
y=
1-
x2
4
,則y=
-
2x
4
2
1-
x2
4
=-
x
4
1-
x2
4
,
∴k=kl=-
x0
4
1-
x
2
0
4
=-
x0
4y0

k1=
y0
x0+
3
k2=
y0
x0-
3
,
1
k1
+
1
k2
=
2x0
y0
,
1
kk1
+
1
kk2
=-
4y0
x0
×
2x0
y0
=-8為定值.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查了推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•江西)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,a+b=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2m-k為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•延慶縣一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為
12
.過F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為8.過定點(diǎn)M(0,3)的直線l1與橢圓C交于G,H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M,H之間).
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l1的斜率k>0,在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0),使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形.如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•崇明縣二模)已知橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分,求弦AB所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程
(Ⅱ)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為
6
4
的任意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C與點(diǎn)P,設(shè)
OP
=t
OE
,求實(shí)數(shù)t的值.

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