Question

已知四邊形滿(mǎn)足∥，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折成，使面面，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求四棱的體積；
（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）取的中點(diǎn)連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210226829989.png" style="vertical-align:middle;" />，為等邊三角形，則，又因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210226939555.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以面，
所以…………4分
（Ⅱ）連接交于，連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210226970547.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，，又為的中點(diǎn)，所以∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）連接，分別以為軸
則
……9分
設(shè)面的法向量，，令，則
設(shè)面的法向量為，，令，則……11分
則，所以二面角的余弦值為

略