Question

某同學(xué)做了一個(gè)數(shù)字信號(hào)模擬傳送器，經(jīng)過(guò)10個(gè)環(huán)節(jié)，把由數(shù)字0，1構(gòu)成的數(shù)字信號(hào)由發(fā)生端傳到接受端．已知每一個(gè)環(huán)節(jié)會(huì)把1錯(cuò)轉(zhuǎn)為0的概率為0.3，把0錯(cuò)轉(zhuǎn)為1的概率為0.2，若發(fā)出的數(shù)字信號(hào)中共有10000個(gè)1，5000個(gè)0．問(wèn)：
（1）從第1個(gè)環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號(hào)中0，1各有多少個(gè)？
（2）最終接受端收到的信號(hào)中0，1個(gè)數(shù)各是多少？（精確到十位）
（3）該同學(xué)為了完善自己的儀器，決定在接受端前加一個(gè)修正器，把得到的1和0分別以一定的概率轉(zhuǎn)換為0和1，則概率分別等于多少時(shí)，才能在理論上保證最終接受到的0和1的個(gè)數(shù)與發(fā)出的信號(hào)同．

Answer 1

分析：（1）由于每一個(gè)環(huán)節(jié)會(huì)把1錯(cuò)轉(zhuǎn)為0的概率為0.3，把0錯(cuò)轉(zhuǎn)為1的概率為0.2，
則從第1個(gè)環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號(hào)中，0與1的個(gè)數(shù)為發(fā)對(duì)的與發(fā)錯(cuò)的個(gè)數(shù)和；
（2）數(shù)字錯(cuò)轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣為A，設(shè)矩陣A的特征多項(xiàng)式為：f（λ）=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值，將得到的值代入方程組

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

，于是得到矩陣A的特征向量
又設(shè)

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，解得m，n，所以計(jì)算出A¹⁰

10000 5000

即可；
（3）設(shè)修正器的轉(zhuǎn)移矩陣為B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），則由題意得到6s-9t+4=0，可取s=

1

2

，t=

7

9

，也就是說(shuō)1轉(zhuǎn)為0的概率為

1

2

，0轉(zhuǎn)為1的概率為

7

9

．

解答：解：（1）從第1個(gè)環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號(hào)中，0的個(gè)數(shù)為：
10000×0.3+5000×0.8=7000（個(gè)）
1的個(gè)數(shù)為：10000×0.7+5000×0.2=8000（個(gè)）
（2）數(shù)字錯(cuò)轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣為A=

0.7 0.2 0.3 0.8

，1和0的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)列矩陣

10000 5000

，
于是最終接受端收到的信號(hào)中1，0個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)矩陣A¹⁰

10000 5000

，
矩陣A的特征多項(xiàng)式為：f(λ)=

.

λ-0.7 -0.2 -0.3 λ-0.8

.

=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值為1或0.5，將1代入方程組

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

解得3x-2y=0，不妨設(shè)x=2，于是得到矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為

2 3

．
同理，把λ=0.5代入上述方程組得x+y=0，不妨設(shè)x=1，可得矩陣A的屬于特征值0.5的一個(gè)特征向量為

1 -1

．
又設(shè)

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，于是

10000=2m+n 5000=3m-n

，求得

m=3000 n=4000

，
所以A¹⁰

10000 5000

=3000•1¹⁰

2 3

+4000•0.5¹⁰

1 -1

=

6000+4000•0.510 9000-4000•0.510

≈

6000 9000

于是，最終接受端收到的信號(hào)中0約有9000個(gè)，1約有6000個(gè)
（3）設(shè)修正器的轉(zhuǎn)移矩陣為B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），則由題意有

1-s t s 1-t

•

6000 9000

=

10000 5000

于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=

1

2

，t=

7

9

也就是說(shuō)1轉(zhuǎn)為0的概率為

1

2

，0轉(zhuǎn)為1的概率為

7

9

．
注：第（3）問(wèn)答案不惟一，只要滿足方程6s-9t+4=0 （0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩陣特征值的計(jì)算與逆變換與逆矩陣以及幾種特殊的矩陣變換等知識(shí)，屬于中檔題．