Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（sinx，2cosx），函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，若不等式f（x）≤m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． 0
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的范圍，可得m的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4sin²x+4$\sqrt{3}$sinxcosx=2-2cos2x+2$\sqrt{3}$sin2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴4sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，4]，∴f（x）∈[0，6]．
若不等式f（x）≤m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，則m≥0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．