Question

（本小題滿分14分）
如圖8，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直，如圖9．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大�。�

Answer 1

證明（1）（法一）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175503890428.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
且平面平面，
又在正方形中，，
所以，平面． ………………2分
而平面，
所以，．        ………………3分


在直角梯形中， ,，
，
所以，，
所以，．         ………………4分
又，平面，，
所以，平面．    ………………6分
而平面，
所以，平面平面． ……………7分
（法二）同法一，得平面．              …………………………2分
以為原點(diǎn)，，，分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，．     …………………………3分
所以，， ，,
，，
所以，，．                     …………………………………5分
又，不共線，，平面，
所以，平面．                           …………………………6分
而平面，
所以，平面平面．                     …………………………7分
（2）（法一）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175506386434.gif" style="vertical-align:middle;" />，平面，平面，
所以，平面．                         …………………………9分
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175503734268.gif" style="vertical-align:middle;" />與平面有公共點(diǎn)，
所以可設(shè)平面平面，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175506573256.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，平面平面，
所以．                                    ………………………10分
從而，，
又，且，，所以為中點(diǎn)，也為正方形．  12分
易知平面，所以，．
所以，是平面與平面所成銳二面角的平面角，
而，
所以平面與平面所成銳二面角為．     …………………………14分
（法二）由（1）知，平面的一個(gè)法向量是． ………………9分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175508086625.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以， 取，得，所以．………………11分
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則．                ………………………………13分
所以平面與平面所成銳二面角為．    …………………………14分

略