Question

設(shè)關(guān)于x的方程2x²－ax－2=0的兩根為α、β（α＜β），函數(shù)．

  （Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；

（Ⅱ）證明f (x)是[α，β]上的增函數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)a為何值時(shí)，f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意知α＋β＝，α·β＝－1，∴α2＋β2＝，         ∴f (α)·f (β)＝ ． （Ⅱ）證明：當(dāng)α≤x≤β時(shí)，            ∵α、β是方程2x2－ax－2=0的兩根，         ∴當(dāng)α≤x≤β時(shí)，恒有2x2－ax－2≤0，         ∴≥0，又不是常函數(shù)，         ∴是[α，β]上的增函數(shù)． （Ⅲ）f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0， 又∵| f (α)·f (β) |＝4，  ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥ 當(dāng)且僅當(dāng)| f (β)|＝| f (α)|＝2時(shí)取“＝”號(hào)，此時(shí)f (β)＝2，f (α)＝－2          ∴     由（1）、（2）得 ，∴a＝0為所求．