Question

（08年新建二中模擬）如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
　　(1)求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)；
    (2)試根據(jù)(1)中的結(jié)論猜測：橢圓 的“左特征點(diǎn)”M是一個(gè)怎樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

解析：(1)解：設(shè)M(m，0)為橢圓的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，
　　設(shè)直線AB的方程為
　　將它代入得：，即         2分
　　設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則，                                4分
　　∵∠AMB被x軸平分，∴
    即，Þ
    Þ
    ∴，                                                                                           6分
　　于是
　　∵，∴，即
　　∴M(，0)                                                                                                                                    8分
　　(2)解：對于橢圓，，b = 1，c = 2，∴．
　　于是猜想：橢圓的“左特征點(diǎn)”是橢圓的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)．  10分
　　證明：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線l與x軸相交于M點(diǎn)，過A、B分別作l的垂線，垂足分別為C、D
　　據(jù)橢圓第二定義：，即
　　∵，∴                                                                                     12分
　　于是，即
　　∴，又均為銳角，
　　∴，∴
　　∴MF為∠AMB的平分線，故M為橢圓的“左特征點(diǎn)”．                                              14分