Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數f（x）的極值點；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f′（x）＞x，求實數a的取值范圍；
（3）已知c1＞0，且cn+1=f′（cn）（n=1，2，…），在（2）的條件下，證明數列{cn}是單調遞增數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時，fx）=x2﹣2x+ln（x+1），則f′（x）=2x﹣2+ = ，

f′x）=0，x=± ，且x＞﹣1，

當x∈（﹣1，﹣ ）∪（ ，+∞）時f′x）＞0，當x∈（﹣ ， ）時，f′x）＜0，

所以，函f（x）的極大值點x=﹣ ，極小值點x=

（2）解：因f′（x）=2x﹣a+ ，f′x）＞x，

2x﹣a+ ＞x，

即a＜x+ ，

y=x+ =x+1+ ﹣1≥1（當且僅x=0時等號成立），

∴ymin=1．∴a≤1

（3）解：①當n=1時，c2=f′（x）=2c1﹣a+ ，

又∵函y=2x+ 當x＞1時單調遞增，c2﹣c1=c1﹣a+ =c1+1+ ﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，

∴c2＞c1，即n=1時結論成立．

②假設n=k時，ck+1＞ck，ck＞0則n=k+1時，

ck+1=f′（ck）=2ck﹣a+ ，

ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+ =ck+1+1+ ﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，

ck+2＞ck+1，即n=k+1時結論成立．由①，②知數{cn}是單調遞增數列

【解析】（1）先求出導函數，找到導數為0的根，在檢驗導數為0的根兩側導數的符號即可得出結論．（2）因f′（x）=2x﹣a+ ，由f′x）＞x，分參數得到：a＜x+ ，再利用函數y=x+ 的最小值即可得出求實數a的取值范圍．（3）本題考查的知識點是數學歸納法，要證明當n=1時，c2＞c1成立，再假設n=k時ck+1＞ck ， ck＞0成立，進而證明出n=k+1時ck+2＞ck+1 ， 也成立，即可得到對于任意正整數n數列{cn}是單調遞增數列．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．