已知函數(shù)f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）在點x=1處取得極值．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明不等式數(shù)學公式．

解：（1）由題可得f'（x）=-3x2-4mx-m2
則f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x3+2x2-x+2，則f'（x）=-3x2+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以
（3）因f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x），x∈[0，1]
所以，即
所以
故]
又1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2）
所以
所以（當且僅當時取”=”）
分析：（1）由題可得f'（x）=-3x2-4mx-m2則f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x2+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區(qū)間為，減區(qū)間為，進而得到函數(shù)的最值．
（3）由（2）得即整理得可得
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，還考查了利用函數(shù)的最值證明不等式恒成立的知識點，導數(shù)與不等式相結(jié)合是高考考查的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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