Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為2，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（理科學(xué)生做）若b_n=log₂a_n，c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（Ⅲ）（文科學(xué)生做）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列⇒2a_n=S_n+2⇒S_n=2a_n-2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減，易知數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，從而可得b_n=n，cn=

n

2n

，Tn=

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法求和，即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知an=2n，易求得b_n=n2ⁿ，Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，利用錯(cuò)位相減法求和，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知2a_n=S_n+2，a_n＞0，a₁=2（1分）
∴S_n=2a_n-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得 a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），
整理得：

an

an-1

=2；（4分）
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an=a1•2n-1=2×2n-1=2n（6分）
（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）知an=2n，
∴b_n=n，cn=

n

2n

，（7分）
Tn=

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

，…①

1

2

Tn=

1

4

+

2

8

+

3

16

…+

n

2n+1

，…②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

…+

1

2n

-

n

2n+1

，（10分）
∴

1

2

Tn=1-

1

2n

-

n

2n+1

，（11分）
∴Tn=2-

2+n

2n

，（12分）
（Ⅲ）（文科）由（Ⅰ）知an=2n，
∴b_n=n2ⁿ，（7分）
Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，…①
2Tn=22+2•23+3.24…+(n-1)•2n+2•2n+1，…②
①-②得-Tn=2+22+32+…+2n-n•2n+1，（10分）
∴-Tn=2n+1-2-n•2n+1，（11分）
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用與數(shù)列的求和，突出考查等比關(guān)系的確定及錯(cuò)位相減法求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．