Question

2．若對?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍$[{-\frac{1}{8}，+∞}）$．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為：8ax²+4${{x}_{2}}^{2}$≥x₁-4lnx₁+16-$\frac{3}{{x}_{1}}$，令f（x）=x-4lnx+16-$\frac{3}{x}$，x∈（0，2]，利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值．令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，問題等價于g（x）_max≥f（x）_max．再利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）的最大值，即可得出．

解答 解：∵x₁＞0，∴4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0，
化為8ax₂+4${{x}_{2}}^{2}$≥x₁-4lnx₁+16-$\frac{3}{{x}_{1}}$，
令f（x）=x-4lnx+16-$\frac{3}{x}$，x∈（0，2]，
f′（x）=1-$\frac{4}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=14．
令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，
∵對?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，
∴g（x）_max≥f（x）_max．
g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①當(dāng)a≥-1時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=2時，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥-$\frac{1}{8}$，滿足條件．
②當(dāng)-2＜a＜-1時，g′（x）=8[x-（-a）]，可得當(dāng)x=-a時，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③當(dāng)a≤-2時，經(jīng)過驗證，也不符合條件，舍去．
綜上可得：a的取值范圍是[-$\frac{1}{8}$，+∞）．
故答案為：$[{-\frac{1}{8}，+∞}）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．