Question

1．設m為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$
（1）若f（1）≥4，求m的取值范圍；
（2）若m＞0，對一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入后對m的值進行討論即可．
（2）轉化為二次函數(shù)，從而根據(jù)二次函數(shù)的單調性解出實數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）f（1）=2+（1-m）|1-m|≥4
當m＞1時，（1-m）（m-1）≥2，無解；
當m≤1時，（1-m）（1-m）≥2，解得m≤1-$\sqrt{2}$．
所以m≤1-$\sqrt{2}$．
（2）①m＜1時，x∈[1，2]，f（x）=2x²+（x-m）（x-m）=3x²-2mx+m²，
h（x）=$\frac{f（x）}{x}≥1$恒成立，∴f（x）≥x恒成立，
即：g（x）=3x²-（2m+1）x+m²≥0
由于y=g（x）的對稱軸為x=$\frac{2m+1}{6}$＜1
故g（x）在[1，2]為單調遞增函數(shù)，
故g（1）≥0，
∴m²-2m+2≥0．
所以m＜1．
②當1≤m≤2時，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}+2m\;\;\;1≤x≤m}\\{3x+\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}-2m\;\;m＜x≤2}\end{array}\right.$
易證y=x-$\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}$+m在[1，m]為遞增，
由②得y=3x+$\frac{{m}^{2}}{x}-2m$在[m，2]為遞增，
所以，h（1）≥1，即0≤m≤2，
所以1≤m≤2．
③當m＞2時，h（x）=x-$\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}$+2m（無解）
綜上所述m≤2．

點評 本題主要考查表達式的求解以及不等式恒成立問題，利用分類討論結合一元二次函數(shù)單調性的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．