如圖所示，一條直角走廊寬為a米．現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車，其平板面為矩形，它的寬為b（0＜b＜a）米．
（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且∠CAB=θ，試求平板面的長l．
（2）若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？
考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題
專題：綜合題,三角函數(shù)的求值
分析：（1）設(shè)矩形為ABEF，直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過點(diǎn)D作DP⊥AC于P，過點(diǎn)D作DQ⊥BC于Q，求出DM，DN，MF，EN，即可求平板面的長l．
（2）換元，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）如圖，設(shè)矩形為ABEF，直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過點(diǎn)D作DP⊥AC于P，過點(diǎn)D作DQ⊥BC于Q，則DM=
a
sinθ
，DN=
a
cosθ
MF=
b
tanθ
，EN=btanθ
所以l=DM+DN-MF-EN=
a
sinθ
+
a
cosθ
-btanθ-
b
tanθ
=
a(sinθ+cosθ)-b
sinθcosθ

（2）設(shè)t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)∈(1，
2
]，
則l=
2at-2b
t2-1
=
2a
t+1
+
2a-2b
t2-1

因?yàn)楹瘮?shù)y=
2a
t+1
和y=
2a-2b
t2-1
在區(qū)間(1，
2
]上均為減函數(shù)
所以l=
2at-2b
t2-1
=
2a
t+1
+
2a-2b
t2-1
在(1，
2
]上單調(diào)遞減
所以lmin=
2a
2
+1
+2a-2b=2
2
a-2b
故平板車的長度不能超過2
2
a-2b米
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
m+2i
3-4i
的虛部為0，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�
A、
8
3
B、
3
2
C、-
8
3
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
cos（2x-
2π
3
）+2sin2（x-
π
12
），鈍角△ABC（角A、B、C所對(duì)的邊長分別為 a、b、c）的角B滿足f（B）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若b=3，c=3
3
，求B、a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心，R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）荒地，該�？倓�(wù)處計(jì)劃對(duì)其開發(fā)利用，其中弓形BCDB區(qū)域（陰影部分）用于種植學(xué)校觀賞植物，△OBD區(qū)域用于種植花卉出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售．已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤是每平方米80元，種植草皮的利潤是每平方米30元．
（1）設(shè)∠BOD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面積S弓=f（θ）；
（2）如果該校總務(wù)處邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地，如何設(shè)計(jì)∠BOD的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值．
（參考公式：扇形面積公式S=
1
2
R2θ=
1
2
Rl，l表示扇形的弧長）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x+m，g（x）=x3-3ax2+2bx，且函數(shù)g（x）=x3-3ax2+2bx在x=1處的切線方程為y=-1，
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)于任意x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，2]使得f（x1）＜g（x2）成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若存在x0∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0）或者f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“下確界”或“上確界”．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln（2-x）+x2在[0，1]上的“下確界”；
（Ⅱ）若把“上確界”減去“下確界”的差稱為函數(shù)f（x）在D上的“極差M”，試求函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的“極差M”；
（Ⅲ）類比函數(shù)F（x）的“極差M”的概念，請(qǐng)求出G（x，y）=（1-x）（1-y）+
x
1+y
+
y
1+x
在D={（x，y）|x，y∈[0，1]}上的“極差M”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某商店商品每件成本10元，若售價(jià)為25元，則每天能賣出288件，經(jīng)調(diào)查，如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每天多賣出的商品件數(shù)t與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤15）的關(guān)系是t=6x2．
（1）將每天的商品銷售利潤y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價(jià)才能使每天的商品銷售利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
-
2x
4x+1
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1+x）•(1+
x
)6的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為
 
．（用數(shù)字作答）

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