Question

6．在直角坐標系中，如果不同兩點A（a，b），B（-a，-b）都在函數(shù)y=H（x）的圖象上，則稱點對[A，B]為函數(shù)H（x）的一組“文雅點”（[A，B]與[B，A]看作一組），已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=$\sqrt{2}$•f（x），且當x∈[0，2]時，f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，且函數(shù)H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x≤8}\\{g（x），-8≤x＜0}\end{array}\right.$ 的“文雅點”有4組，則g（x）的表達式可以為（

• A． g（x）=m，其中m為常數(shù)，且m∈（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）
• B． g（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x
• C． g（x）=m，其中m為常數(shù)，且m∈（-2，-$\sqrt{2}$）
• D． g（x）=-ln（-x）

Answer 1

分析 根據(jù)文雅點”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)g（x），-8≤x＜0關于原點對稱的圖象，利用對稱圖象在0＜x≤8上兩個圖象的交點個數(shù)，即為“文雅點”的個數(shù)．利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：由f（x+2）=$\sqrt{2}$•f（x），得f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2），
若x∈[2，4]，則x-2∈[0，2]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=$\sqrt{2}$•sin$\frac{π}{2}$（x-2），
若x∈[4，6]，則x-2∈[2，4]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=2•sin$\frac{π}{2}$（x-4），
若x∈[6，8]，則x-2∈[4，6]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=2$\sqrt{2}$•sin$\frac{π}{2}$（x-6），
若函數(shù)H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x≤8}\\{g（x），-8≤x＜0}\end{array}\right.$ 的“文雅點”有4組，
則等價為當-8≤x＜0時，g（x）關于原點對稱的函數(shù)與f（x）在0＜x≤8上有四個交點，
A．g（x）=m，關于原點對稱的函數(shù)為-y=m，即y=-m，m∈（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
作出對應的圖象得此時y=-m與f（x）有2個或3個或4個交點，不滿足條件．

B．g（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x，關于原點對稱的函數(shù)為-y=-（$\frac{1}{2}$）^-x，即y=（$\frac{1}{2}$）^-x=2^x
作出對應的圖象得此時y=2^x與f（x）有0個交點，不滿足條件．
，
C．g（x）=m，關于原點對稱的函數(shù)為-y=m，即y=-m，m∈（-2，-$\sqrt{2}$），
作出對應的圖象得此時y=-m與f（x）有4個交點，滿足條件．

D．g（x）=-ln（-x），關于原點對稱的函數(shù)為-y=-lnx，即y=lnx，
作出對應的圖象得此時y=lnx與f（x）有6個交點，不滿足條件．
，
故選：C．

點評 本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大，求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關鍵．