如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,上的點,且.

(1)證明:;
(2)若,求二面角的余弦值.
(1)詳見解析;(2)二面角的余弦值為.

試題分析:(1)要證,先證平面,則要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,先由正方形的對角線互相垂直得到,再由平面,得到,結(jié)合直線與平面垂直的判定定理得到平面,從而得到;(2)以為原點,、所在的直線為、軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法求二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵平面,∴,
∵底面是正方形,∴,∴平面
平面,∴.
(2)以為原點,、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系.
設(shè),則,因為,
易知,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,則,,
,令,得,同理可取平面的法向量
所以,所以二面角的余弦值為.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.

(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求平面A1DB與平面DBB1夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點.

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

斜三棱柱,其中向量,三個向量之間的夾角均為,點分別在上且,=4,如圖

(Ⅰ)把向量用向量表示出來,并求;
(Ⅱ)把向量表示;
(Ⅲ)求所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在四面體O-ABC中,點P為棱BC的中點.設(shè)
OA
=
a
,
OB
=
b
OC
=
c
,那么向量
AP
用基底{
a
,
b
c
}可表示為( 。
A.-
1
2
a+
1
2
b+
1
2
c
B.-a+
1
2
b+
1
2
c
C.a+
1
2
b+
1
2
c
D.
1
2
a+
1
2
b+
1
2
c

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,ACBC=1,則異面直線A1BAC所成角的余弦值是    (  ).
A.  B.C.  D.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正方體的棱長為,分別是、的中點.

⑴求多面體的體積;
⑵求與平面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖3所示,,M是棱的中點,N是棱的中點.
(1)求異面直線所成角的正弦值;
(2)求的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

.如圖,在四面體OABC中,G是底面ABC的重心,則等于
A.B.
C.D.

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