若動點（x，y）在曲線
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0）上變化，則x2+2y的最大值為
b2
4
+4或2b
b2
4
+4或2b
．
分析：用三角換元x=2cosθ，y=bsinθ，將其代入x2+2y得x2+2y=-4(sinθ-
b
4
)2+
b2
4
+4，再根據(jù)b的取值范圍進行討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到x2+2y的最大值．
解答：解：由題意，可令x=2cosθ，y=bsinθ，則
x2+2y=4cos2θ+2bsinθ=-4sin2θ+2bsinθ+4=-4(sinθ-
b
4
)2+
b2
4
+4，
∵b＞0，∴
b
4
＞0
①當
b
4
∈（0，1]時，即0＜b≤4時，當sinθ=
b
4
時，x2+2y取得最大值
b2
4
+4，
②當
b
4
∈（1，+∞）時，即b＞4時，當sinθ=1時，x2+2y取得最大值2b
故答案為：
b2
4
+4或2b
點評：本題給出曲線
x2
4
+
y2
b2
=1上的動點（x，y），求x2+2y的得最大值．著重考查了三角換元法解決二次曲線問題和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點（x，y）在曲線
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)，0≤θ≤π）上，則x+y的最小值是（　�。�
A、-
3
3
B、-2
C、-3
D、-
2
-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P（x，y）在曲線
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)，θ∈[π，2π））上，則
y
x
的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）若點P（x，y）在曲線
x=3+5cosθ
y=-4+5sinθ
（θ為參數(shù) ）上，則使x2+y2取得最大值的點P坐標為
（6，-8）
（6，-8）
．
（2）若關(guān)于x的不等式|x|+|x-1|＜a 的解集為φ，則a范圍為
（-∞，1]
（-∞，1]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（請在下列兩題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題評分）
A．已知點P（x，y）在曲線 
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上，則
y
x
的取值范圍為
 
．
B．關(guān)于x的不等式|a-2x|＞x-2在[0，2]上恒成立，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•揭陽二模）已知點P（x，y）在曲線
x=-2+cosθ
y=sinθ
，（θ為參數(shù)）上，則
y
x
的取值范圍為
-
3
3
≤k≤
3
3
-
3
3
≤k≤
3
3
．

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