如圖已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AD=DC=
12
AB=1,M
是SB的中點(diǎn).
(1)證明:平面SAD⊥平面SCD;
(2)求AC與SB所成的角;
(3)求二面角M-AC-B的大。
分析:(1)利用面面垂直的性質(zhì),證明CD⊥平面SAD.
(2)AC中點(diǎn)O,SC中點(diǎn)E,AB中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,∠EGF是AC、SB所成的角(或補(bǔ)角),△EGF中,使用余弦定理求∠EGF的大。
(3)根據(jù)三垂線定理可得,∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角,解直角三角形求此角的大。
解答:解:(1)由已知可得:SA⊥CD,CD⊥AD∴CD⊥平面SAD,(2分)
而CD⊆SCD,∴平面SAD⊥平面SCD(3分)
(2)設(shè)AC中點(diǎn)O,SC中點(diǎn)E,AB中點(diǎn)F,
BC中點(diǎn)G,連接OE、OF、EF、EG、FG
EG∥SB,F(xiàn)G∥AC,∠EGF是AC、SB所成的角(或補(bǔ)角)(5分)
OE=
1
2
SA=
1
2
,OF=
1
2
CE=
2
2
,EF=
(
1
2
)
2
+(
2
2
)
2
=
3
2

又∵FG=
1
2
AC=
2
2
,EG=
1
2
SB=
5
2

cos∠EGF=
EG2+FG2-EF2
2EG•FG
=
10
5
(7分)
∴AC與SB所成的角為arcos
10
5
(8分)
(3)連接MO,根據(jù)三垂線定理可得:MO⊥AC,MF⊥面ABCD,OF⊥AC
∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角(10分)
tan∠MOF=
MF
OF
=
2
2

∴F二面角M-AC-B的大小為artan
2
2
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查證明面面垂直的方法,求線線角即二面角的方法,關(guān)鍵是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形,M、N分別是CD、SC的中點(diǎn),SA⊥底面ABCD,SA=AD=1,AB=
2

(I)求證:MN⊥平面ABN;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(Ⅰ)求證:PQ∥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角B-PC-Q的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年湖北省高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.

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