Question

2．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x．
①求x＞0時(shí)，f（x）的解析式；
②關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$a²-1有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍；
③是否存在正實(shí)數(shù)a，b（a≠b）當(dāng)x∈[a，b]，g（x）=f（x）且g（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求x＞0時(shí)，f（x）的解析式；
②作出函數(shù)f（x）的同學(xué)，利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求a的取值范圍；
③由函數(shù)的值域先確定a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：①若x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x，
∴當(dāng)-x＜0時(shí)，f（-x）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
則f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x＞0）；
②作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$，
由圖象知若方程f（x）=$\frac{1}{2}$a²-1有三個(gè)不同的根，
則-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$a²-1＜$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$a²＜$\frac{3}{2}$，
則1＜a²＜3，即0＜a＜$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$＜a＜-1，
即a的取值范圍是0＜a＜$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$＜a＜-1；
③當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$，
則函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，函數(shù)在（0，2）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
∵g（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，
∴$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{2}$，即a≥2，此時(shí)函數(shù)在[a，b]上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{1}{a}}\\{g（b）=\frac{1}}\end{array}\right.$，
即a，b是g（x）=$\frac{1}{x}$的兩個(gè)根，
即-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{8}$（x-2）²=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{2x}$，
即x（x-2）²=4（x-2），
則（x-2）（x²-2x-4）=0，
即x=2或x²-2x-4=0，得x=1$+\sqrt{5}$或x=1-$\sqrt{5}$（舍），
此時(shí)a=2，b=1$+\sqrt{5}$．
故存在a=2，b=1$+\sqrt{5}$，使g（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)有一定的難度．